宿迁市2011届高三(数学)高考押题卷及附加题+参考答案

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I←1S←0WhileS<20I←I+2S←2I+1EndWhilePrintIEnd第5题图宿迁市2011届高三数学高考押题试卷数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{13,}AxxxZ，B={2，m，4}，若A∩B={2,3}，则实数m=.2.若复数2(1aaiiR)的实部与虚部互为相反数，则a的值等于.3.两根相距6m的木杆上系一根水平绳子，并在绳子上随机挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率为.4．为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中若干株树木的底部周长(单位：cm)，其数据绘制的频率分布直方图如图，则估计该片经济林中底部周长在[98，104)中的树木所占比例为.5.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为.6.已知数列是}{na等比数列，若456,1,aaa成等差数列，且71a，则10a=.7.投资生产A，B两种产品需要资金，场地，以及所获利润如下表所示。资金（百万元）场地（百平方米）利润（百万元）A产品（百吨）223B产品（百米）312限制149现某工厂可使用资金1400万元，场地900m2，若选择投资A，B产品最佳组合方案，则获利最大值为百万元.8.在△ABC中，已知BC＝4，AC＝3，且cos(A－B)=1718，则cosC＝.9.设向量a，b满足2ab，6ab，则a与b夹角的最大值为.10.若函数2(0)1yaxax的最小值为4，则a的值为_______．11.底面半径为2cm的圆柱形容器里放有四个半径为1cm的实心铁球，使得四个球两两相切，96981001021041060.1500.1250.1000.0750.050周长(cm)频率/组距第4题图FEGHDCBAS4S2S3S113题图其中底层两球与容器底面也相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3.12.已知点12,FF分别为双曲线22221(0)xyabab的左、右焦点，点P为该双曲线左支上的任意一点．若221PFPF的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是.13.如图，线段EF和GH把矩形ABCD分割成四个小矩形，记四个小矩形的面积分别为(=1,2,3,4)iSi.已知AB=1，11S，21S，31S，42S，则BC的最小值是.14.若方程logxaax(1)a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设(,1)ax，(2,1)b，(,1)cxmm（,xmRR）．（1）若a与b的夹角为钝角，求x的取值范围；（2）解关于x的不等式acac．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为1DD的中点．（1）求证：1BD面EAC；（2）求四面体1EACB的体积．1DA1BDE1A1CBC17．如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点EF、分别在BCCD、上），根据规划要求ECF的周长为2km．（1）试求EAF的大小；（2）欲使EAF的面积最小，试确定点EF、的位置．18．如图，线段AB两端点分别在x轴，y轴上滑动，且ABab（ab）．M为线段AB上一点，且MBa，MAb．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）已知圆O：221xy，设P为轨迹C上任一点，若存在以点P为顶点，与圆O外切且内接于轨迹C的平行四边形，求证：22111ab．ABxyOMFEDCBA19．已知数列na的各项均为整数，其前6项依次构成等比数列，且从第5项起依次构成等差数列．（1）设数列na的前n项和为nS，且44a，81a．①求满足0nS的n的最小值；②是否存在正整数m，使得221mmmmaaaa成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．（2）设数列na的前6项均为正整数，公比为q，且(1,2)q，求6a的最小值．20．已知函数2)(xxaeexf，2)(xxeexg，(,)xaRR.O2O1BCDPA⑴当1a时，试用)(),(),(),(ygxgyfxf表示)(yxf；⑵研究函数)(xfy的图象发现：取不同的a值，)(xfy的图象既可以是中心对称图形也可以是轴对称图形（对称轴为垂直于x轴的一条直线），试求其对称中心的坐标和对称轴方程；⑶设函数)(xh的定义域为R，若对于任意的实数yx,，函数)(xh满足)()()()()()(xyhyxhxyfxyfyxfxyh，且1)()(xfxh．证明：)()(xfxh数学附加题部分（考试时间30分钟，试卷满分40分）21．【选做题】在A，B，C，D四个小题中只能选做2个小题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-1：几何证明选讲如图，1O和2O外切于点P，延长1PO交1O于点A，延长2PO交2O于点D，若AC与2O相切于点C，且交1O于点B.求证：（1）PC平分BPD；（2）2PCPBPD.B．选修4-2:矩阵与变换已知矩阵2113A将直线:10lxy变换成直线l.（1）求直线l的方程；（2）判断矩阵A是否可逆？若可逆，求出矩阵A的逆矩阵1A；若不可逆，请说明理由．C．选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点P为圆22sin70上任一点.求点P到直线cossin70的距离的最小值与最大值.D．选修4-5：不等式选讲设2()13fxxx，实数a满足1xa，求证：()()2(1)fxfaa．22.必做题（1）用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？（2）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．.①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；②记花圃中红色鲜花区域的块数为，求的分布列及其数学期望()E．图一图二23．必做题已知抛物线xy2的焦点为F，点),(00yxM（与原点不重合）在抛物线上．（1）作一条斜率为021y的直线交抛物线于HG,两点，连接MHMG,分别交x轴于BA,两点，（直线MHMG,与x轴不垂直），求证MBMA；（2）设DC,为抛物线上两点，过DC,作抛物线的两条切线相交于点P，（DC,与M不重合，与M的连线也不垂直于x轴），求证:PFCPFD．命题人员：鲍立华王正军陆明明数学试题参考答案一、填空题1．32．03．4．75%5．116．187．14．758．169．12010．111．842312．(1,3]13．32214．11eae二、解答题15．（1）由题知：210abx，解得12x；又当2x时，a与b的夹角为，所以当a与b的夹角为钝角时，x的取值范围为1(,2)(2,)2．…………………6分（2）由acac知，0ac，即(1)[(1)]0xxm；……………………8分当2m时，解集为{11}xmx；………………………………10分当2m时，解集为空集；………………………………12分当2m时，解集为{11}xxm．………………………………14分16．（1）连接BD交AC于O点，连接OE．由题知，O为BD中点．∴在1BDD中，OE为中位线，∴OE∥1BD………………………………4分又OE面EAC，1BD面EAC∴1BD∥面EAC．………………………………6分（2）连接1OB．∵O为AC中点，EA=EC，11BABC∴EOAC，1BOAC∴1BOE为二面角1EACB的平面角由正方体的棱长为2，得3EO，16OB，13EB∴22211EOOBEB，即12BOE∴EO面1ABC，即EO为四面体1EABC的高………………………………12分∴1113EABCABCVEOS113226232………………………………14分17．解：（1）设,BAEDAF，,(01,01)CExCFyxy，则tan1,tan1xy，由已知得：222xyxy，即2()2xyxy…………………………………4分tantan112()2()tan()11tantan1(1)(1)[22()]xyxyxyxyxyxyxyxy0,24，即.4EAF…………………………8分（2）由（1）知，1221121sin244coscos4coscosAEFSAEAFEAFAEAF=22111142cos(sincos)sin22cossin2cos21coscos()4=12sin(2)14．…………………………………………………12分04，242，即8时AEF的面积最小，最小面积为21．22tan8tan,tan21481tan8，故此时21BEDF所以，当21BEDF时，AEF的面积最小．………………………………14分18．（1）点M的轨迹C的方程为22221xyab………………………………6分（2）显然圆O外切的平行四边形为菱形，连接PO并延长交椭圆C于点Q，过O作PQ垂线交椭圆于C，D，连接PC与圆O切于点H.当PO斜率不存在时，可得22111ab………………………………8分当PO斜率存在时设为k，PO方程ykx与22221xyab联立解得222222abxbak，2222222abkybak………………………………10分所以2222222222211bakOPxyababk同理可求得2222222221abkOCababk所以22221111OPOCab………………………………14分又RtPOC的斜边与圆O切于点H，故222111OPOCOH所以22111ab………………………………16分19.（1）①设数列na的前6项等比数列的公比为q，从第5项起等差数列的公差为d．由544aaqq，22644aaqq，则244dqq；又285343(44)1aadqqq，解得12q或16q（舍，因为na为整数），所以12q，1d．故61()(6,*)27(7,*)nnnnNannnN．……2分所以164[1()](6,*)2(7)(6)63(7,*)2nnnnNSnnnnN…………4分∵0nS∴7n由(7)(6)6302nn得17n所以，满足0nS的n的最小值为18．……………………………6分②假设存在正整数m，使得221mmmmaaaa成立，即2(1)(1)0mmaa由1ma或21ma得6m所以，存在正整数6m，使得221mmmmaaaa成立．…………………10分（Ⅱ）设11nnaaq，由1a，…，6a都是正整数，则q必为有理数．设sqr，其中s，r都是正整数，且(,)1sr，22rsr，则5615saar．由(,)1sr，得55(,)1sr，所以1a是5r的整数倍．因此，5556153243saasr．……………14分当2r，3s时，即32q，512a时，6a取到最小值243．……16分20．⑴2)(2)(xxxxeexgeexf得)()()()(xgxfexgxfexx)()()()(2)(ygxgyfxfeeeeyxfyxyx……………………………4分（2）设)(xf关于点),(nm对称，则nxmfxf2)2()(naeeaeemxxmxx4220)(4)(22222mmxmmxeaeeneaee对Rx恒成立04022mmneae故当0a时存在对称点（)0),ln(21(a…………………………7分同理当0a时存在对称轴axln21……………………………9分当0a时函数不存在对称点或对称轴……………………………10分（3）设)()()(xfxhxG,假设存在实数a使得0)(aG因为)()()()()()(xyhyxhxyfxyfyxfxyh所以)()()(xyGyxGxyG)()()(xaGaxGxaG……………………………12分)()()(xaGaxGxaG)()(xaGaxG1aaGx)()(1aGax……………………………14分即只有当)(1aGax时，)()()(xaGaxGxaG)()(xaGaxG不等式才能恒成立与Rx矛盾所以不存在实数a使得G（a）0,故)()(xfxh……………………………16分附加题部分21．A．选修4-1：几何证明选讲（1）连结2OC，AC切2O于点C，2ACOC，又AP是1O的直径，90ABPABPB，2//PBOC，……………………………………………………………………………2分2BPCOPC，又22OPOC，22OPCOCP，………………………………………4分PC平分BPD.………………………………………………………………………5分（2）连结CD，可得BCPD，…………………………………………………6分又BPCCPD，BPCCPD，…………………………………………………………………8分PBPCPCPD，2PCPBPD.………………………………………………………………10分B．选修4-2:矩阵与变换（1）在直线l上任取一点00(,)Pxy，设它在矩阵2113A对应的变换作用下变为(,)Qxy．∵002113xxyy，………………………………………………………………2分000023xxyyxy，即003727xyxxyy，……………………………………………………4分又∵点00(,)Pxy在直线:10lxy，321077xyxy，即直线l的方程为470xy.…………………………………………………………5分（2）21013，矩阵A可逆．　………………………………………………7分设1abAcd，11001AA，　……………………………………………8分21203031acbdacbd，解之得37171727abcd，131771277A.　　……………………10分C．选修4-4:坐标系与参数方程圆22sin70的普通方程为22270xyy，………………2分直线cossin70的普通方程为70xy，………………4分设点(22cos,22sin1)P，则点到直线70xy的距离4sin()822cos22sin8422d，…………………………………………………………………………………………8分min4222d；max12622d.……………………………………10分D．选修4-5：不等式选讲2()13fxxx，22()()fxfaxxaa……………………………………………………2分1xaxa……………………………………………………………………4分1xa，…………………………………………………………………………5分又1()21xaxaa……………………………………………………7分21xaa………………………………………………………………………9分1212(1)aa．………………………………………………………………10分22.（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：432248种．…………2分（2）①设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图二，当区域A、D同色时，共有54313180种；当区域A、D不同色时，共有54322240种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.……………4分图二ADBE它们是等可能的。又因为A、D为红色时，共有43336种；B、E为红色时，共有43336种；因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72种．所以，()PM=72642035．…………………………6分②随机变量的分布列为：012P6352335635所以，()E=62360121353535．………………………………10分23．（1）由题设知：),(020yyM，直线MG，MH的斜率存在，分别设为1,kk直线MG的方程为：020)(yyxky由xyyyxky2020)(得)1,)1((0220kkykkyG………………………………………………1分直线MH的方程为：0201)(yyxky由xyyyxky20201)(得)1,)1((10121201kykkykH…………………………2分带入021yxxyyHGHG化简得：1kk，……………………………………4分MBAMABMBMA………………………………………………5分（2）设),(2mmC，),(2nnD抛物线在C点处的切线斜率为m21（把抛物线方程转化为函数解析式，利用导数求切线斜率，或者设出直线方程与抛物线方程联立，利用0，求出斜率为m21）直线PC的方程为：mmxmy)(212即22mxmy同理可得直线PD的方程为：22nxny…………………7分由2222nxnymxmy得)2,(nmmnP……………………………………8分直线FC的方程为：mmxym4)14(2点P到直线FC的距离2)14(16)2)(14(4222221nmmmnmmmnmd点P到直线FD的距离22nmd……………………………9分PFCPFD………………………………………………10分